小学奥数的学习大纲主要涵盖七大核心模块，只有了解大纲内容，把握整体脉络，对知识体系做得心中有数，才能让奥数学习更具针对性。

1计算板块

① 速算与巧算。主要是加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等运算定律，以及凑整、拆分、分组等巧算方法。基础题如25×32，将32拆分为 4×8，再利用乘法结合律计算 25×4×8=800。

②数列计算。涵盖等差数列、等比数列的相关计算。像等差数列求和公式S_n=n(a₁+a_n)÷2（其中n为项数，a₁为首项，a_n为末项），例如求1到100的和，就可以用此公式计算100×(1+100)÷2=5050。

③定义新运算。给出一种新的运算规则，要求学生根据规则进行计算。例如规定(a△b = a×b + a - b)，那么计算 (3△2)，就按照规则得到3×2+3-2=7。

④解方程。以应用题形式出现，通过设未知数，根据题目中的数量关系列出方程并求解，从而解决各种实际问题，如和差倍问题、行程问题、盈亏问题等。

⑤循环小数与混合运算。主要包含纯/混循环小数化分数，纯循环小数的计算。混合运算的核心策略所有循环小数必先化成分数再进行四则运算，避免直接计算误差（例：0.+ 0.=？，其计算过程为1/3+2/3=1）。

⑥分数小数四则混合运算与繁分数运算。分数小数四则混合运算如0.25+1/4+2/7；繁分数指分子或分母含有分数的表达式（如化简(1/4+1/5)/(2/7+1/8))，需通过除法法则转化为标准分数形式。

2 计数板块

①枚举法。将符合条件的情况一一列举出来。比如用 1、2、3 组成没有重复数字的三位数，可通过枚举得到 123、132、213、231、312、321 这 6 种情况。

②加法原理与乘法原理。加法原理是指完成一件事有几类不同的方法，每一类方法又有若干种具体的方法，那么完成这件事的方法总数就等于各类方法数之和；乘法原理是指完成一件事需要分成几个步骤，每个步骤都有若干种方法，那么完成这件事的方法总数就等于各步骤方法数的乘积。例如从 A 地到 B 地有 3 条路，从 B 地到 C 地有 2 条路，那么从 A 地经 B 地到 C 地就有3×2 = 6种走法，这就是乘法原理的应用。

③排列组合。排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。比如从 5 个人中选 3 个人进行排队，有5×4×3=60种排法；从5个人中选3个人组成一组，有 5×4÷(2×1)=10种选法。

④容斥原理。用于处理包含与排除的计数问题。当计算多个集合的元素总数时，先不考虑重叠情况，将各个集合的元素个数相加，然后减去重复计算的部分。例如，某班学生参加语文、数学兴趣小组，参加语文小组的有20人，参加数学小组的有25人，两个小组都参加的有10人，那么参加兴趣小组的总人数为20 + 25-10 = 35人。

⑤抽屉原理。一般含义为：如果把（n+1）个物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里的东西不少于两件。这里，“抽屉”可以看作是某个集合，“物体”则可以看作是集合中的元素。

如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理"。

⑥归纳与递推。递推法是一种通过找出问题规律，从而迅速求得问题解的方法。递推法适用于一些数字序列问题、图形问题以及概率问题等。例如有一个数字序列从0开始，每个数都比前两个数之和大1，求第10个数是多少？

⑦几何计数。数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段”)，那么这格点n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+●●●+2+1条。数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法)。

3 数论板块

①整数的性质。包括奇数与偶数、质数与合数、因数与倍数等概念。例如判断一个数是奇数还是偶数，找出一个数的所有因数，判断一个数是否为质数等。

②整除问题。掌握能被 2、3、5、9 等数整除的数的特征。比如一个数的个位是 0、2、4、6、8，这个数就能被 2 整除；一个数的各位数字之和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除。

③余数问题。涉及余数的性质、同余定理等。例如在除法运算中，被除数等于除数乘以商加余数；两个数除以同一个数余数相同，则这两个数的差能被这个数整除。

④奇偶性问题。涉及到奇偶加乘规律，主要有：奇+奇=偶 ；奇×奇=奇；奇+偶=奇；奇×偶=偶；偶+偶=偶；偶×偶=偶。

⑤位值原理。形如：abc =100a+10b+c。位值原理的经典题型如下: 题目: 1、一个两位数，个位和十位上的数字之和为9，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，新的两位数比原来的两位数大9，原来的两位数是多少。

⑥孙子定理(中国剩余定理)。此定理源于我国古代数学名著《孙子算经》，其中载有一道数学问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物之几何？”翻译即为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

⑦最值问题。最值问题，简单来说，就是在各种数学情境中，找出最大或者最小的那个值。比如说，在一堆数字里，找到最大的数；或者在一些条件限制下，算出能得到的最大面积、最小周长等等。如有四个数a、b、c、d，每次算其中3个数的平均再加上另外一个数，这样算下来得数分别为26、32、40、46，问原本四个数中最大的是多少？

4 几何板块

①平面图形。学习三角形、四边形、圆形等常见平面图形的周长、面积计算。比如三角形面积公式S = ah÷2（其中a为底，h为高），圆形面积公式S= πr²（其中r为半径）。

②立体图形。了解长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等立体图形的表面积、体积计算。例如长方体体积公式V = abc（其中a、b、c分别为长、宽、高），圆柱体体积公式V= πr²h（其中r为底圆半径，h为高）。

③水中浸物。指物体浸入液体容器后引起水位变化的数学问题，核心为体积守恒原理：物体体积 = 水位变化对应的液体体积差。解题需抓住两个关键条件：完全浸没：物体必须全部没入水中（无露出部分）；无溶解溢出：物体不溶解、液体未溢出容器。例题：长方体鱼缸底面积80平方分米。沉入假山石后水位上升0.5分米，求假山石体积。

④几何变换。包括平移、旋转、对称等。通过几何变换可以将一些不规则的图形转化为规则图形，从而方便计算面积或周长。

⑤面积模型。一半模型，拉窗帘模型，蝴蝶模型，风筝模型，金字塔模型，漏斗模型等。

5 应用题板块

①和差倍问题。已知两个数的和与差、和与倍数、差与倍数关系，求这两个数。例如已知两个数的和是 20，差是 4，可根据公式求出这两个数分别是(20+4)÷2=12和(20−4)÷2=8。

②年龄问题。主要特点是两人的年龄差不变，年龄倍数关系随时间变化而变化。例如今年爸爸年龄是儿子的 3 倍，5年后爸爸年龄是儿子的2倍，可通过设未知数来求解父子今年的年龄。

③盈亏问题。把一定数量的物品平均分给若干对象，若有剩余则为盈，若不足则为亏。根据盈亏情况的不同，可以求出物品数量和分配对象数量。比如将一些苹果分给小朋友，每人分 3个多2个，每人分 4个少3个，可求出小朋友人数和苹果个数。

④牛吃草问题。也叫牛顿问题，是一类特殊的应用题。它的特点是草在不断生长且生长速度固定，牛在不断吃草，通过已知条件求出原有草量和草的生长速度等。

示例：一片牧场，可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。设每头牛每天的吃草量为1份，通过计算可以得出草每天的生长量和牧场原有的草量，进而可以求出可供多少头牛吃多少天等问题。

⑤工程问题。工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“1”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。示例：一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少天？

6 行程问题板块

①相遇问题。两个物体相向而行，涉及路程、速度和时间的关系。基本公式为路程 = 速度和×相遇时间。例如甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，经过 10 秒相遇，那么 A、B 两地的距离就是(5+3)×10=80米。

②追及问题。两个物体同向而行，快的追慢的，基本公式为路程差 = 速度差×追及时间。比如甲在乙后面100 米处，甲的速度是 8 米/秒，乙的速度是 6 米/秒，那么甲追上乙需要的时间就是100÷(8−6)=50秒。

③环形跑道问题。本质是封闭路线上的行程问题，涉及多人（至少两人）在环形路径上多次相遇或追及。示例：林荫道周长480米，王老师（55米/分）、周老师（65米/分）从同点反向走。第10次相遇后，王老师还需走几米回起点？

④火车过桥问题。核心在于理解火车通过桥梁的总路程包含桥长和车身长度，所有变形本质均为‌路程 ÷ 时间 = 速度‌ 的应用，通过画图明确路程范围即可突破难点‌。例如火车长400米，通过1400米大桥，车速20米/秒，则时间 = (1400 + 400) ÷ 20 = 90秒

⑤电梯问题。主要研究人在运行中的自动扶梯上行走时，速度、时间与台阶数量之间的关系，其核心是‌相对运动（合成速度）‌和‌阶梯总数守恒‌原理。例题：自动扶梯匀速上行。男孩每分钟走20级，5分钟到达楼上；女孩每分钟走15级，6分钟到达。求扶梯共有多少级？

⑥时钟问题。研究分针和时针的相对运动（如重合、夹角变化）。其核心是角度差与速度差的关系，本质是‌追及问题‌。例题：钟表显示9:30时开始倒计时，分针与时针第7次相遇在何时？

⑦接送问题。通过车辆往返接送与步行配合，使多人同时到达目的地。本质是‌多人行程协作优化‌，解题关键在于‌时间相等‌、‌分段分析‌与‌比例建模‌‌。例题：大胖、大锤、大宝从A地到B地（30千米），步行速5千米/时，骑车速10千米/时。电动车每次载1人。大胖骑车到中途C地后步行；大锤到达C地骑车至D地后步行；大宝步行至D地骑车到B地。三人同时到达B地，求总时间‌。

⑧流水行船问题。考虑船在水中行驶时，水速对船速的影响。船顺流速度 = 船在静水中的速度 + 水速，船逆流速度 = 船在静水中的速度 - 水速。例如一艘船在静水中的速度是 20 千米/小时，水速是 2 千米/小时，那么船顺流速度就是20 + 2 = 22千米/小时，逆流速度就是20 - 2 = 18千米/小时。

7 组合数学板块

①逻辑推理。通过分析、推理来解决一些逻辑问题，如真假判断、条件推理等。例如有甲、乙、丙三人，一人说真话，一人说假话，一人有时说真话有时说假话，通过他们的陈述来判断谁是说真话的人。

②统筹规划。研究如何合理安排资源，以达到最优的结果。比如在烧水、泡茶的过程中，如何合理安排各个步骤的顺序，使总时间最短。

③游戏策略。涉及博弈论的一些简单思想，如在两人的游戏中，制定获胜的策略。例如取棋子游戏，规定每次可以取 1 - 3 个棋子，谁取到最后一个棋子谁获胜，通过分析可以找出获胜的方法。

④数字谜。概述：数字谜是一种填数游戏，通过已知的数字和运算符号，推理出其他未知数字。数阵图则是将一些数字按照一定的规则排列在图形中，使每条线上的数字之和或其他运算结果相等。

示例：在一个加法竖式的数字谜中，已知部分数字，需要根据加法的运算规则求出其他未知数字。数阵图如常见的九宫格，要求每行、每列和对角线上的数字之和都相等。

⑤幻方。幻方：将 n² 个连续自然数填入 n×n方格中，使每行、每列及两条对角线上所有数的和均相等，称为 n 阶幻方（如三阶幻方为 3×3 网格）。相等的和称为幻和（幻和 = 总和 ÷ n）。

⑥数阵图。将数字按特定规则排列在几何图形（如封闭型、辐射型或复合型）中，满足特定计算关系（如线段或区域数字和相等）。

⑦染色与覆盖。这里说的染色并不是说如何去染色，而是解决逻辑推理题的一种方法，将要解决的问题适当的染色，可以更加形象的分析其中所蕴含的关系。染色问题‌是通过不同颜色标记对象，利用颜色差异分析对象之间的关系或规律。例如在棋盘覆盖问题中，通过黑白染色判断覆盖的可能性。覆盖问题‌则是用特定形状的单元覆盖棋盘或区域，要求无重复、无遗漏。例如用1×2的卡片覆盖正方形棋盘，需满足方格数量为3的倍数。

示例：六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座.如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去能办到吗？为什么？

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不管是你、我，还是烂漫的孩子们

愿在成长的路上拥有足够的爱和勇气

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